Minca 1/2-hlava 1/2-znak
Hádžeme 100x
Očakávaný počet hláv?
X1,…,X100 Xi= 1 ak padla v i-tom hode hlava, inak 0 E[X1+⋯+X100]=100⋅1/2=50
Tá istá minca. Hádžeme, kým nemáme 10 hláv. Koľko to v očakávanom prípade bude trvať?
Čo ak hádžeme, iba kým nehodíme prvú hlavu?
Čo ak hádžeme hlavu so šancou 1/3?
Pre prípad jednej hlavy: Y = počet hodov, kým hodíme hlavu
Ak v prvom hode hodíme hlavu, máme hotovo. Ak hodíme znak, sme v rovnakej situácii ako pred hodom, teda potrebujeme v priemere ešte E[Y] ďalších hodov.
Vo všeobecnosti, ak hádžeme hlavu s pravdepodobnosťou p: E[Y]=p⋅1+(1−p)(1+E[Y]) E[Y]−(1−p)E[Y]=p+(1−p) pE[Y]=1 E[Y]=1/p
Naspäť k pôvodnej úlohe:
Postupnosť hodov môžeme rozdeliť na 10 častí: pokým nehodíme prvú hlavu, od hodenia prvej hlavy po hodenie druhej, atď.
ZZZZH H ZH H ZZZH H H ZH ZH H Zi = dĺžka i-tej časti E[Zi]=2 E[Z1+⋯+Z10]=10⋅2=20
[coupon collector]Existuje 100 rôznych druhov strašidielok. V každom jogurte je jedno náhodné strašidielko. Kupujeme jogurty, kým nemáme všetky druhy. Koľko jogurtov v priemere kúpime?
Yi = koľko trvá nájsť i-tu rôznu príšerku, ak som už našiel i−1
(koľko jogurtov trvá dostať sa zo stavu “mám i−1 rôznych príšeriek” do stavu “mám i rôznych príšeriek”) Z = koľko trvá nájsť všetky príšerky Z=Y1+⋯+Y100
100100−(i−1) = pravdepodobnosť, že otvoríme novú príšerku, ak ich už máme i−1
Ak minca padne s 1/x, hodiť ju trvá v priemere x
Urobili sme n krokov a sme v čísle Kn. Z nášho pohľadu teda E[Sn2∣Kn]=Kn2.
Kde budeme po ďalšom kroku? E[Sn+12∣Kn]=1/2(Kn−1)2+1/2(Kn+1)2 E[Sn+12∣Kn]=1/2Kn2−1/2⋅2Kn+1/2⋅12+1/2Kn2+1/2⋅2Kn+1/2⋅12 E[Sn+12∣Kn]=Kn2+1
Intuícia, prečo je štvorec priemeru ≤ priemeru štvorcov
Ak sú všetky čísla rovnaké, nastáva rovnosť:
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 (1015+15+15+…)2=152=10152+152+152+…
Ak jedno z rovnakých čísel zmenšíme o h a druhé zväčšíme o h, súčet sa nezmení, ale súčet ich štvorcov sa zväčší o 2h2: x2+x2 (x−h)2+(x+h)2=x2−2xh+h2+x2+2xh+h2 (x−1)2+(x+1)2=2x2+2h2
Takže priemer (a tým pádom ani štvorec priemeru) sa nezmení, ale súčet (a tým pádom aj priemer) štvorcov sa zväčší.