Programovanie (1) v C/C++
1-INF-127, ZS 2024/25
Prednáška 18
Obsah
Oznamy
Budúci utorok bude na cvičeniach rozcvička na papieri.
- Bude pokrývať učivo po prednášku 17.
- Dôležitý tréning na semestrálny test.
Blíži sa semestrálny test.
- Bude sa konať v stredu 11.12. o 18:10 v posluchárňach F1 a F2 v trvaní 90 minút.
- Viac informácií na stránke Zimný semester, semestrálny test.
Od pondelka 2.12. 19:00 sa môžete hlásiť na termín skúšky pri počítači.
- Ak vidíte konflikt niektorého termínu s hromadnou skúškou alebo písomkou z iného predmetu, dajte nám vedieť čím skôr.
- Kapacita termínov bude obmedzená, prihláste sa teda radšej skôr, neskôr to môžete zmeniť.
- Prihlásiť a odhlásiť sa dá najviac deň vopred.
- Skúšku 20.12. môžete robiť iba ak spravíte test 11.12. aspoň na 50% bodov.
- Decembrový termín odporúčame hlavne študentom, ktorým programovanie nerobí problémy.
- Viac informácií o skúške na prednáške v stredu 11.12.
Opakovanie: zásobník a rad
- Zásobník (angl. stack) a rad alebo front (angl. queue) sú abstraktné dátové typy, ktoré udržiavajú postupnosť nejakých prvkov.
- Obidva typy podporujú vloženie prvku a výber prvky
- Zo zásobníka sa vyberá prvok, ktorý v ňom pobudol najkratšie, z radu prvok, ktorý v ňom bol najdlhšie
- Zásobník tak pripomína stĺpec čistých tanierov v reštaurácii, rad pripomína rad pri pokladni
Konkrétne funkcie hlavičky funkcií
void init(stack &s); bool isEmpty(stack &s); void push(stack &s, dataType item); // vlozenie prvku dataType pop(stack &s); // vyber prvku dataType peek(stack &s); void destroy(stack &s); void init(queue &q); bool isEmpty(queue &q); void enqueue(queue &q, dataType item); // vlozenie prvku dataType dequeue(queue &q); // vyber prvku dataType peek(queue &q); void destroy(queue &q);
- Pre obidva typy sme videli implementáciu v poli aj v spájanom zozname
- Hlavné funkcie vkladania a vyberania sú v obidvoch implementáciách rýchle a jednoduché
Videli sme tiež, že obidve štruktúry sa dajú použiť na ukladanie dát alebo úloh, ktoré ešte treba vyriešiť
- Dnes uvidíme ďalšie príklady
Použitie zásobníka a radu: nerekurzívny Quick Sort
Pripomeňme si triedenie Quick Sort z 11. prednášky:
void swap (int &x, int &y) {
int tmp = x;
x = y;
y = tmp;
}
int partition(int a[], int left, int right) {
int pivot = a[left];
int lastSmaller = left;
for (int unknown = left + 1; unknown <= right; unknown++) {
if (a[unknown] < pivot) {
lastSmaller++;
swap(a[unknown], a[lastSmaller]);
}
}
swap(a[left],a[lastSmaller]);
return lastSmaller;
}
void quicksort(int a[], int left, int right) {
if (left >= right) {
return;
}
int middle = partition(a, left, right);
quicksort(a, left, middle-1);
quicksort(a, middle+1, right);
}
int main() {
// ...
quicksort(a, 0, N-1);
// ...
}
Namiesto rekurzie môžeme použiť aj zásobník úsekov, ktoré ešte treba dotriediť.
struct usek {
int left;
int right;
};
typedef usek dataType;
/* Sem pride definicia struktury stack a vsetkych potrebnych funkcii. */
/* Sem pridu funkcie swap a partition rovnake ako vyssie. */
void quicksort(int a[], int n) {
stack s;
init(s);
usek u;
u.left = 0;
u.right = n-1;
push(s,u);
while (!isEmpty(s)) {
u = pop(s);
// vynechame useky dlzky 0 a 1
if (u.left >= u.right) {
continue;
}
int middle = partition(a, u.left, u.right);
usek u1;
u1.left = u.left;
u1.right = middle - 1;
usek u2;
u2.left = middle + 1;
u2.right = u.right;
push(s,u2);
push(s,u1);
}
destroy(s);
}
int main() {
// ...
quicksort(a, N);
// ...
}
- Tento program triedi úseky v rovnakom poradí, ako rekurzívny Quick Sort, lebo po rozdelení poľa na dve časti dá na vrch zásobníka úsek zodpovedajúci jeho ľavej časti. Až keď sa táto ľavá časť a všetky podúlohy, ktoré z nej vzniknú, spracuje, dôjde na spracovanie pravej časti poľa.
- Pri triedení Quick Sort však na tomto poradí nezáleží, takže by sme mohli jednotlivé úseky vkladať na zásobník aj v opačnom poradí.
- Alebo by sme namiesto zásobníka mohli použiť rad. Potom by najskôr rozdelil ľavú aj pravú časť na ďalšie podčasti a potom by delil každú z týchto podčastí atď.
Na zamyslenie: ako by mohla vyzerať nerekurzívna verzia triedenia Merge Sort? Prečo sa nedá použiť rovnaký prístup ako pri triedení Quick Sort?
Vyfarbovanie súvislých oblastí
- Uvažujme obrázok pozostávajúci z m krát n štvorčekov (pixelov).
- Farbu každého pixelu zapíšeme do jedného políčka dvojrozmerného poľa s m riadkami a n stĺpcami.
- V našom jednoduchom príklade budeme pracovať iba s piatimi farbami, ktoré budeme reprezentovať číslami 0,...,4 podľa nasledujúceho poľa (napríklad číslo 0 teda reprezentuje bielu farbu):
const char *farby[5] = {"white", "blue", "black", "yellow", "red"};
Napríklad obrázok
tak môže byť reprezentovaný nasledujúcim textovým súborom obsahujúcim najprv rozmery matice (čísla m a n) a za nimi samotné prvky matice:
11 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Zameriame sa teraz na nasledujúci problém: používateľ zvolí (zadá na konzolu) súradnice niektorého štvorčeka a cieľom je ofarbiť nejakou farbou (napríklad červenou) celú súvislú oblasť rovnakej farby obsahujúcu daný štvorček. Napríklad pre obrazec vyššie a vstupné súradnice (2,1) (teda štvorček v treťom riadku a druhom stĺpci, keďže matica sa bude indexovať od nuly) by mal byť výstupom nasledujúci obrazec:
Podobný problém je napríklad často potrebné riešiť v rôznych nástrojoch na prácu s grafikou a podobne.
- Jednoduché útvary, napr. obdĺžnik, by sa dali vyfarbiť jednoduchými cyklami, naša súvislá oblasť ale môže mať veľmi zložitý tvar, s mnohými zákrutami, vetveniami a dierami a podobne.
- Pre každé políčko, ktoré prefarbíme, nesmieme zabudnúť skontrolovať všetkých jeho susedov a ak majú rovnakú farbu ako malo pôvodné políčko, tak prefarbiť aj ich, ich susedov, susedov ich susedov atď.
- Toto vieme ľahko zapísať rekurzívne: zafarbíme jedno políčko a potom rekurzívne zafarbujeme celú dosiahnuteľnú oblasť pre každého suseda rovnakej farby, akú malo pôvodne prefarbené políčko.
- Táto podúloha je menšia, lebo aspoň jedno políčko z nej ubudlo prvým prefarbením.
Vyfarbovanie pomocou rekurzívnej funkcie
Nasledujúca rekurzívna funkcia vyfarbi prefarbí políčko so súradnicami (riadok, stlpec) na cieľovú farbu farba a následne sa rekurzívne zavolá pre všetkých susedov tohto políčka, ktoré sú zafarbené pôvodnou farbou prefarbovanej oblasti.
/* Prefarbi súvislú jednofarebnú oblasť obsahujúcu
* pozíciu (riadok,stlpec) na farbu s číslom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n,
int riadok, int stlpec, int farba) {
int staraFarba = a[riadok][stlpec];
if (staraFarba == farba) {
return;
}
a[riadok][stlpec] = farba;
if (riadok - 1 >= 0
&& a[riadok - 1][stlpec] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok - 1, stlpec, farba);
}
if (riadok + 1 < m
&& a[riadok + 1][stlpec] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok + 1, stlpec, farba);
}
if (stlpec - 1 >= 0
&& a[riadok][stlpec - 1] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec - 1, farba);
}
if (stlpec + 1 < n
&& a[riadok][stlpec + 1] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec + 1, farba);
}
}
Proces vyfarbovania môžeme animovať pomocou našej knižnice SVGdraw
V animácii okrem zmeny farby štvorčeka meníme aj farbu jeho rámčeka: pri zavolaní rekurzie sa zmení na hnedú a po skončení spracovania štvorčeka aj jeho susedov sa zmení na sivú. Hnedé sú teda vždy rámčeky štvorčekov uložené na zásobníku volaní.
Program s animáciou
- Program na vyfarbovanie súvislých oblastí obsahuje funkcie na inicializáciu matice, jej načítanie zo súboru, vykresľovanie jednotlivých štvorčekov a celej matice, ako aj uvoľnenie pamäte. Všetky tieto funkcie pracujú podobne ako pri príklade s výškovou mapou z prednášky 13.
- Funkcia main načíta maticu zo súboru vstup.txt a animáciu uloží do súboru matica.svg.
- Do rekurzívnej funkcie pridáme volania funkcie vykresliStvorcek, ktoré aktuálny štvorček v obrázku prekreslia novou farbou a menia aj farbu rámčeka. Za ňou vždy zavoláme funkciu drawing.wait, ktorá animáciu pozdrží, aby sme zmeny stihli na obrázku sledovať.
#include "SVGdraw.h"
#include <cstdio>
#include <cassert>
const char *farby[5] = {"white", "blue", "black", "yellow", "red"};
const int stvorcek = 40; // velkost stvorceka v pixeloch
const int hrubkaCiary = 2; // hrubka ciary v pixeloch
const double pauza = 0.3; // pauza po kazdom kroku vyfarbovania v sekundach
/* Vytvori maticu s n riadkami a m stlpcami. */
int **vytvorMaticu(int m, int n) {
int **a;
a = new int *[m];
for (int i = 0; i < m; i++) {
a[i] = new int[n];
}
return a;
}
/* Uvolni pamat matice a s n riadkami a m stlpcami. */
void zmazMaticu(int **a, int m) {
for (int i = 0; i < m; i++) {
delete[] a[i];
}
delete[] a;
}
/* Vykresli stvorcek v riadku i a stlpci j
s farbou vyplne farba a farbou ciary farbaCiary. */
void vykresliStvorcek(int i, int j,
const char * farba,
const char * farbaCiary,
SVGdraw &drawing) {
drawing.setLineColor(farbaCiary);
drawing.setLineWidth(hrubkaCiary);
drawing.setFillColor(farba);
drawing.drawRectangle(j * stvorcek, i * stvorcek,
stvorcek, stvorcek);
}
/* Vykresli maticu a s n riadkami a m stlpcami. */
void vykresliMaticu(int **a, int m, int n, SVGdraw &drawing) {
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
vykresliStvorcek(i, j, farby[a[i][j]], "lightgray", drawing);
}
}
}
/* Nacita z textoveho suboru, na ktory ukazuje fr,
prvky matice a s n riadkami a m stlpcami. */
void nacitajMaticu(FILE *fr, int **a, int m, int n) {
assert(fr != NULL);
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
fscanf(fr, "%d", &a[i][j]);
}
}
}
/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu
* poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n,
int riadok, int stlpec, int farba,
SVGdraw &drawing) {
int staraFarba = a[riadok][stlpec];
if (staraFarba == farba) {
return;
}
a[riadok][stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba],
"brown", drawing);
drawing.wait(pauza);
if (riadok - 1 >= 0 && a[riadok - 1][stlpec] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok - 1, stlpec, farba, drawing);
}
if (riadok + 1 < m && a[riadok + 1][stlpec] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok + 1, stlpec, farba, drawing);
}
if (stlpec - 1 >= 0 && a[riadok][stlpec - 1] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec - 1, farba, drawing);
}
if (stlpec + 1 < n && a[riadok][stlpec + 1] == staraFarba) {
vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec + 1, farba, drawing);
}
vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba],
"lightgray", drawing);
drawing.wait(pauza);
}
int main() {
FILE *fr = fopen("vstup.txt", "r");
assert(fr != NULL);
// nacitanie rozmerov matice
int m, n;
fscanf(fr, "%d %d", &m, &n);
// vytvorenie matice a nacitanie jej prvkov
int **a = vytvorMaticu(m, n);
nacitajMaticu(fr, a, m, n);
fclose(fr);
SVGdraw drawing(n * stvorcek, m * stvorcek, "matica.svg");
vykresliMaticu(a, m, n, drawing);
// nacitanie suradnic pociatocneho stvorceka
int riadok, stlpec;
scanf("%d", &riadok);
scanf("%d", &stlpec);
vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec, 4, drawing);
drawing.finish();
zmazMaticu(a, m);
}
Počítanie ostrovov
Obrázok, s ktorým sme pracovali vyššie, môže reprezentovať napríklad jednoduchú mapu súostrovia, kde more je znázornené modrou farbou a pevnina je znázornená žltou farbou. Úlohou môže byť zistiť počet ostrovov. Ten môžeme zistiť napríklad takto:
- Prechádzame postupne všetky políčka mapy.
- Ak narazíme na pevninu (t. j. žlté políčko), zvýšime doposiaľ nájdený počet ostrovov o 1 a ofarbíme celý ostrov (napríklad) na červeno.
- Ak narazíme na ďalšie žlté políčko, opäť urobíme to isté.
- Toto robíme, až kým prejdeme cez všetky políčka mapy.
Príklad mapy a jej zobrazenie pred začiatkom hľadania ostrovov, po nájdení prvých troch ostrovov a po nájdení všetkých ostrovov:
11 17 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 3 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 1 1 3 3 3 3 1 1 3 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 1 1 1 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Do programu vyššie teda dorobíme funkciu
int najdiOstrovy(int **a, int m, int n, SVGdraw &drawing) {
int ostrovov = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (a[i][j] == 3) {
ostrovov++;
vyfarbi(a, m, n, i, j, 4, drawing);
}
}
}
return ostrovov;
}
a funkciu main môžeme zmeniť napríklad takto:
int main() {
FILE *fr = fopen("ostrovy.txt", "r");
assert(fr != NULL);
int m, n;
fscanf(fr, "%d %d", &m, &n);
int **a = vytvorMaticu(m, n);
nacitajMaticu(fr, a, m, n);
fclose(fr);
SVGdraw drawing(n * stvorcek, m * stvorcek, "mapa.svg");
vykresliMaticu(a, m, n, drawing);
int pocetOstrovov = najdiOstrovy(a, m, n, drawing);
printf("Pocet ostrovov je %d.\n", pocetOstrovov);
drawing.finish();
zmazMaticu(a, m);
}
Cvičenie: upravte program tak, aby ešte navyše zistil, či má niektorý z ostrovov jazero.
Nerekurzívne vyfarbovanie
Vyfarbovanie s použitím zásobníka
S použitím niektorej implementácie zásobníka z minulej prednášky môžeme napísať aj nerekurzívnu verziu funkcie vyfarbi. Tá zakaždým vyberie zo zásobníka niektoré políčko, skontroluje všetkých jeho susedov a ak majú pôvodnú farbu, ofarbí ich a vloží ich na zásobník, aby sme ďalej skontrolovali aj ich susedov.
Súradnice jednotlivých susedov budeme počítať s použitím cyklu for a polí deltaStlpec a deltaRiadok, ktoré pre i = 0,1,2,3 obsahujú posuny jednotlivých súradníc i-teho suseda oproti práve spracúvanému políčku (dalo by sa použiť aj v rekurzívnej verzii).
struct policko {
int riadok, stlpec;
};
typedef policko dataType;
/* Sem pride definicia struktury pre zasobnik
* a funkcii poskytovanych zasobnikom. */
const int deltaRiadok[4] = {0, 0, 1, -1};
const int deltaStlpec[4] = {1, -1, 0, 0};
/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu
* poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n,
int riadok, int stlpec, int farba,
SVGdraw &drawing) {
int staraFarba = a[riadok][stlpec];
if (staraFarba == farba) {
return;
}
a[riadok][stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba],
"lightgrey", drawing);
stack s;
init(s);
policko p;
p.riadok = riadok;
p.stlpec = stlpec;
push(s, p);
while (!isEmpty(s)) {
p = pop(s);
for (int i = 0; i <= 3; i++) {
policko sused;
sused.riadok = p.riadok + deltaRiadok[i];
sused.stlpec = p.stlpec + deltaStlpec[i];
if (sused.riadok >= 0 && sused.riadok < m
&& sused.stlpec >= 0 && sused.stlpec < n
&& a[sused.riadok][sused.stlpec] == staraFarba) {
a[sused.riadok][sused.stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(p.riadok, p.stlpec, farby[farba],
"lightgrey", drawing);
drawing.wait(pauza);
push(s, sused);
}
}
}
destroy(s);
}
- Výsledná animácia
- Poradie sa trochu zmenilo oproti rekurzívnej verzii. Prečo?
Vyfarbovanie s použitím radu
Namiesto zásobníka môžeme použiť aj rad. Obrazec sa potom bude vyfarbovať v poradí podľa vzdialenosti od počiatočného políčka. Tento algoritmus sa volá prehľadávanie do šírky, kým rekurzívna verzia zodpovedá prehľadávaniu do hĺbky.
struct policko {
int riadok, stlpec;
};
typedef policko dataType;
/* Sem pride definicia struktury pre rad
* a funkcii poskytovanych radom. */
const int deltaRiadok[4] = {0, 0, 1, -1};
const int deltaStlpec[4] = {1, -1, 0, 0};
/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu
* poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n,
int riadok, int stlpec, int farba,
SVGdraw &drawing) {
int staraFarba = a[riadok][stlpec];
if (staraFarba == farba) {
return;
}
a[riadok][stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba],
"lightgrey", drawing);
queue q;
init(q);
policko p;
p.riadok = riadok;
p.stlpec = stlpec;
enqueue(q, p);
while (!isEmpty(q)) {
p = dequeue(q);
for (int i = 0; i <= 3; i++) {
policko sused;
sused.riadok = p.riadok + deltaRiadok[i];
sused.stlpec = p.stlpec + deltaStlpec[i];
if (sused.riadok >= 0 && sused.riadok < m
&& sused.stlpec >= 0 && sused.stlpec < n
&& a[sused.riadok][sused.stlpec] == staraFarba) {
a[sused.riadok][sused.stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(sused.riadok, sused.stlpec, farby[farba],
"lightgrey", drawing);
drawing.wait(pauza);
enqueue(q, sused);
}
}
}
destroy(q);
}
Program potom môžeme upraviť aj tak, aby do každého ofarbeného políčka vypísal jeho vzdialenosť od počiatočného políčka:
struct policko {
int riadok, stlpec, vzd;
};
typedef policko dataType;
/* Sem pride definicia struktury pre rad
* a funkcii poskytovanych radom. */
void vypisVzdialenost(policko p, SVGdraw &drawing) {
drawing.setLineColor("white");
drawing.setFontSize(20);
char text[15];
sprintf(text, "%d", p.vzd);
drawing.drawText((p.stlpec + 0.5) * stvorcek,
(p.riadok + 0.5) * stvorcek, text);
}
const int deltaRiadok[4] = {0, 0, 1, -1};
const int deltaStlpec[4] = {1, -1, 0, 0};
/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu
* poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n,
int riadok, int stlpec, int farba,
SVGdraw &drawing) {
int staraFarba = a[riadok][stlpec];
if (staraFarba == farba) {
return;
}
queue q;
init(q);
policko p;
p.riadok = riadok;
p.stlpec = stlpec;
p.vzd = 0;
enqueue(q, p);
a[riadok][stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba],
"lightgrey", drawing);
vypisVzdialenost(p, drawing);
while (!isEmpty(q)) {
p = dequeue(q);
for (int i = 0; i <= 3; i++) {
policko sused;
sused.riadok = p.riadok + deltaRiadok[i];
sused.stlpec = p.stlpec + deltaStlpec[i];
if (sused.riadok >= 0 && sused.riadok < m
&& sused.stlpec >= 0 && sused.stlpec < n
&& a[sused.riadok][sused.stlpec] == staraFarba) {
sused.vzd = p.vzd + 1;
a[sused.riadok][sused.stlpec] = farba;
vykresliStvorcek(sused.riadok, sused.stlpec, farby[farba],
"lightgrey", drawing);
vypisVzdialenost(sused, drawing);
drawing.wait(pauza);
enqueue(q, sused);
}
}
}
destroy(q);
}
Zhrnutie
- Vyfarbovanie súvislých oblastí v matici sa dá využiť v počítačovej grafike ale na iné úlohy, napríklad počítanie ostrovov na mape.
- Dá sa jednoducho napísať rekurzívne.
- Rekurziu vieme odstrániť použitím zásobníka alebo radu na ukladanie políčok, ktoré ešte treba spracovať.
- Pri využití radu vieme spočítať aj vzdialenosť od počiatočného bodu
- Budúci semester uvidíte na Programovaní (2) prehľadávanie grafov, ktoré funguje veľmi podobne, ale je trochu všeobecnejšie.
Na konci prednášky sme ešte prebrali úvodné časti prednášky 19.
