Prednáška 19

Oznamy

Prednášky

• Tento týždeň a budúci pondelok ešte prednášky v normálnom režime.
• Budúcu stredu 10.12. v prvej polovici prednášky informácie k skúške a rady k skúškovému všeobecne, potom doberieme posledné povinné učivo.
• Posledný týždeň semestra v pondelok 15.12. nepovinná prednáška o nepreberaných črtách jazykov C a C++, v stredu 17.12. prednáška pravdepodobne nebude.

Cvičenia a úlohy

• Cvičenia bežia normálne každý utorok, cvičenia v stredu už iba 2x.
• Tretí miniprojekt treba odovzdať do tohto štvrtka (4.12.) 22:00.

Semestrálny test

• Budúcu stredu o 18:10 v posluchárňach A a B, trvanie 45 minút.
• Rovnaké pravidlá ako prvý test.
• Bude obsahovať učivo po dnešnú prednášku a zajtrajšie cvičenia vrátane. Na opravnom termíne môže byť aj učivo z ďalších prednášok.
• Viac informácií na stránke Zimný semester, semestrálny test.

Na termíny skúšky sa bude dať prihlasovať od dnes 19:00

• Kapacita termínov bude obmedzená, prihláste sa teda radšej skôr, neskôr to môžete zmeniť.
• Ak vidíte konflikt niektorého termínu s hromadnou skúškou alebo písomkou z iného predmetu, dajte mi prosím vedieť čím skôr.
• Decembrový termín odporúčame hlavne študentom, ktorým programovanie nerobí problémy.
• Viac informácií o skúške je na stránke Zimný semester, skúška, spolu cez to prejdeme budúcu stredu.
• Na testovač budúcu stredu pridáme zopár tréningových príkladov na skúšku.

Binárne stromy

Na predmete sme už videli spájané zoznamy, ktoré tvoria uzly pospájané smerníkmi do reťaze. Binárne stromy sú o niečo zložitejšia štruktúra, v ktorej má každý uzol smerníky na dva ďalšie uzly, ktoré nazývame jeho deti.

Štruktúra pre uzol binárneho stromu

V každom uzle budeme pamätať hodnotu ľubovoľného typu dataType, napríklad int a smerníky na ľavé a pravé dieťa, ktoré môžu byť aj NULL, ak uzol príslušné dieťa nemá.

/* Typ prvkov ukladaných v uzloch binárneho stromu */
typedef int dataType;          

/* Uzol binárneho stromu */
struct node {
    // hodnota uložená v uzle
    dataType data;  

    // smerníky na deti
    node * left, * right;
};

OBR uzol, deti, rodic

Z týchto uzlov budeme vytvárať hierarchické štruktúry. Väčšinou ich kreslíme zhora nadol tak, aby deti boli pod rodičmi. Najvyššie položený uzol sa nazýva koreň.

OBR strom, koren

Definícia zakoreneného stromu

V diskrétnej matematike je strom množina uzlov alebo vrcholov a množina prepojení medzi nimi, ktoré nazývame hrany, ktoré spĺňajú určité podmienky. Presnú matematickú definíciu stromov uvidíte na predmete Úvod do kombinatoriky a teórie grafov (letný semester).

Na tomto predmete nás zaujímajú zakorenené stromy, v ktorých hrany majú určený smer rodičom k deťom (môžeme ich kresliť ako šípku). Zakorenený strom má spĺňať nasledujúce podmienky:

• Koreň nemá rodičov a každý iný uzol v strome okrem koreňa má práve jedného rodiča (jednu prichádzajúcu hranu)
• Do každého uzla sa vieme z koreňa dostať po hranách

Ako špeciálny prípad budeme povoľovať aj prázdny strom, ktorý neobsahuje žiadne uzly (ani koreň)

Binárne stromy sú špeciálnym prípadom zakorenených stromov, v ktorých má každý uzol najviac dve deti. V našich stromoch budeme rozlišovať ľavé a pravé dieťa.

Terminológia stromov

• Uzly zakoreneného stromu, ktoré nemajú žiadne dieťa, nazývame listami; zvyšné uzly nazývame vnútornými uzlami.
• Predkom uzla u nazveme ľubovoľný uzol v ležiaci na ceste z koreňa do u (vrátane u a koreňa). Naopak potom hovoríme, že u je potomkom uzla v.
• Podstromom stromu T zakoreneným v nejakom uzle v stromu T budeme rozumieť strom s koreňom v pozostávajúci zo všetkých jeho potomkov a všetkých hrán stromu T vedúcich medzi týmito uzlami.

Každý binárny strom je teda buď prázdny, alebo je tvorený jeho koreňom a dvoma podstromami – ľavým a pravým.

Anglické výrazy:

• uzol=node, vrchol=vertex, hrana=edge
• strom=tree, podstrom=subtree, koreň=root, list=leaf, predok=ancestor, potomok=descendant

Vytvorenie binárneho stromu

Nasledujúca funkcia vytvorí uzol binárneho stromu s dátami data, ľavým podstromom zakoreneným v uzle * left a pravým podstromom zakoreneným v uzle * right (parametre left a right sú teda smerníkmi na uzly). Ako výstup funkcia vráti smerník na novovytvorený uzol.

/* Vytvori uzol binarneho stromu */
node * createNode(dataType data, node * left, node * right) {
    node * v = new node;
    v->data = data;
    v->left = left;
    v->right = right;
    return v;
}

Nasledujúca volanie tak napríklad vytvorí binárny strom so šiestimi uzlami zakorenený v uzle * root.

node * root = createNode(1,
                createNode(2, 
                  createNode(3, NULL, NULL),
                  createNode(4, NULL, NULL)),
               createNode(5,
                 NULL, 
                 createNode(6, NULL, NULL)));

Cvičenie: nakreslite binárny strom vytvorený predchádzajúcim volaním.

Použitie stromov, plán zvyšok semestra

• Dnes si ukážeme niekoľko funkcií, ktoré pracujú s binárnymi stromami všeobecne
• Ukážeme si aj prvý príklad použitia stromov: stromy reprezentujúce aritmetické výrazy
• V stredu budeme viac rozprávať o práci s aritmetickými výrazmi s použitím stromov aj bez neho
• Budúci pondelok si ukážeme binárne vyhľadávacie stromy, ktoré slúžia ako efektívna implementácia ADT dynamická množina
• Budúcu stredu si ukážeme prefixové stromy, ktoré nebudú binárne a ktoré implementujú ADT dynamická množina, ak prvky množiny sú reťazce
• Ďalšie príklady stromov uvidíte na skúške a vo vyšších ročníkoch

Prehľadávanie stromov a vypisovanie ich uzlov

Často je potrebné prejsť celý strom a spracovať (napríklad vypísať) hodnoty vo všetkých uzloch.

• V spájanom zozname sme prešli cyklom pomocou smerníkov next
• Tu ale máme dva smery pokračovania: left a right
• Aby sme prešli všetko použijeme rekurziu:
  • Prvé rekurzívne volanie prejde všetko v ľavom podstrome
  • Druhé rekurzívne volanie prejde všetko v pravom podstrome

Ak hodnoty vypisujeme, rozlišujeme tri poradia: hodnotu v koreni môžeme vypísať pred oboma podstromami, po nich alebo medzi ľavým a pravým podstromom. Tieto poradia sa nazývajú preorder, postorder a inorder.

Funkcie nižšie predpokladajú, že pre hodnoty typu dataType máme k dispozícii funkciu printDataType, ktorá ich v nejakom vhodnom formáte vypisuje.

/* Funkcia pre výpis hodnoty typu dataType */
void printDataType(dataType data) {
    printf("%d ", data);  // pre int
}

/* Vypíše podstrom s koreňom * root v poradí preorder */
void printPreorder(node * root) {
    if (root != NULL) {
        printDataType(root->data);
        printPreorder(root->left);
        printPreorder(root->right);
   } 
}

/* Vypíše podstrom s koreňom * root v poradí inorder */
void printInorder(node * root) {
    if (root != NULL) {
        printInorder(root->left);
        printDataType(root->data);
        printInorder(root->right);
    }
}

/* Vypíše podstrom s koreňom * root v poradí postorder */
void printPostorder(node * root) {
    if (root != NULL) {
        printPostorder(root->left);
        printPostorder(root->right);
        printDataType(root->data);
    }
}

Cvičenie:

• Čo vypíšu tieto funkcie pre strom vytvorený vyššie?
• Ako by sme spočítali súčet hodnôt uložených v uzloch stromu?

Aritmetické výrazy a stromy

Dnes a na budúcej prednáške sa budeme venovať spracovaniu aritmetických výrazov pozostávajúcich z reálnych čísel, operátorov +,-,*,/ a zátvoriek (,). Hlavnou úlohou je vyhodnotenie daného výrazu; napríklad pre výraz

(65 - 3 * 5) / (2 + 3)

chceme vedieť povedať, že jeho hodnota je 10.

Ukážeme si

• ako výraz reprezentovať stromom, čo je veľmi pohodlné reprezentácia pre ďalšiu prácu (vyhodnotenie výrazu aj jeho ďalšie úpravy)
• dva ďalšie spôsoby zápisu výrazu vo forme textu, ktoré tiež umožňujú výrazy ľahko vyhodnocovať
• ako prevádzať výraz medzi týmito spôsobmi zápisu

Aritmetický výraz ako strom

Strom pre výraz (65 – 3 * 5)/(2 + 3)

Aritmetické výrazy môžeme veľmi prirodzene reprezentovať vo forme stromu

• Operátory a čísla tvoria uzly
• Čísla tvoria listy stromu.
• Operátory tvoria vnútorné uzly stromu, každý z nich má dve deti zodpovedajúce podvýrazom pre jednotlivé operandy.
• Koreň stromu reprezentuje celý aritmetický výraz.

V uzloch teda niekedy potrebujeme uložiť ako dáta reálne číslo a niekedy operátor, čo môže byť jeden zo znakov '+', '-', '*' a '/'. Aby sme toto vyriešili, vytvoríme si miesto na oboje v zázname nazvanom token (v preklade niečo ako symbol).

struct token {
    char op;   
    double val;
};
typedef token dataType;

• Ak štruktúra obsahuje číslo, op bude medzera a samotné číslo bude v položke val.
• Ak štruktúra reprezentuje iný symbol, tento symbol bude v položke op a položka val sa nebude používať.

Vytvorenie uzlov

Nasledujúce funkcie vytvoria nový vnútorný uzol (pre operátor) resp. nový list (pre číslo):

treeNode * createOp(char op, node * left, node * right) {
    treeNode * v = new treeNode;
    v->left = left;
    v->right = right;
    v->data.op = op;
    return v; 
}

treeNode * createNum(double val) {
    treeNode * v = new treeNode;
    v->left = NULL;
    v->right = NULL;
    v->data.op = ' ';
    v->data.val = val;
    return v;
}

Týmito funkciami teraz môžeme vytvoriť strom pre výraz (65 – 3 * 5)/(2 + 3):

treeNode * root = createOp('/', 
                    createOp('-', 
                      createNum(65),
                      createOp('*', createNum(3), createNum(5))),
                    createOp('+', createNum(2), createNum(3)));

Alebo po častiach:

treeNode * v65 = createNum(65);
treeNode * v3 = createNum(3);
treeNode * v5 = createNum(5);
treeNode * v2 = createNum(2);
treeNode * v3b = createNum(3);
treeNode * vKrat = createOp('*', v3, v5);
treeNode * vMinus = createOp('-', v65, vKrat);
treeNode * vPlus = createOp('+', v2, v3b);
treeNode * vDeleno = createOp('/', vMinus, vPlus);

Vyhodnotenie výrazu reprezentovaného stromom

Nasledujúca rekurzívna funkcia vypočíta hodnotu aritmetického výrazu reprezentovaného stromom s koreňom root.

• Ak je zadaný vrchol listom, vrátime hodnotu uloženú v položke val.
• V opačnom prípade rekurzívne spočítame hodnoty pre obidva podvýrazy a skombinujeme ich podľa typu znamienka.
• Celkovo veľmi jednoduchý a prirodzený výpočet.

double evaluateTree(treeNode * root) {
    assert(root != NULL);
    if (root->op == ' ') {
        return root->val;
    } else {
        double valLeft = evaluateTree(root->left);
        double valRight = evaluateTree(root->right);
        switch (root->op) {
            case '+':
                return valLeft + valRight;
                break;
            case '-':
                return valLeft - valRight;
                break;
            case '*':
                return valLeft * valRight;
                break;
            case '/':
                return valLeft / valRight;
                break;
            default:
                assert(false);
                break;
        }
    }
    return 0; // realne nedosiahnutelny prikaz
}

Notácie na zápis výrazov

Infixová notácia

• Bežný spôsob zápisu aritmetických výrazov sa v matematike nazýva aj infixovou notáciou.
• Binárne operátory (ako napríklad +,-,*,/) sa v tejto notácii píšu medzi svojimi dvoma operandmi.
• Poradie vykonávania operácií sa riadi zátvorkami a prioritou operácií.

Napríklad

(65 – 3 * 5) / (2 + 3)

je infixový výraz s hodnotou 10.

Prefixová notácia

Pri prefixovej notácii (často podľa jej pôvodcu Jana Łukasiewicza nazývanej aj poľskou notáciou) sa každý operátor v aritmetickom výraze zapisuje pred svojimi dvoma operandmi.

Napríklad výraz (65 – 3 * 5) / (2 + 3) má prefixový zápis

/ - 65 * 3 5 + 2 3

Zaujímavosť: programovací jazyk Lisp a jeho varianty využívajú prefixovú notáciu na všetky výrazy, píšu však aj zátvorky, napríklad (+ 1 2).

Postfixová notácia

Pri postfixovej notácii (často nazývanej aj obrátenou poľskou notáciou) je situácia opačná: operátor sa zapisuje bezprostredne za svojimi dvoma operandmi.

Výraz (65 – 3 * 5) / (2 + 3) má teda postfixový zápis

65 3 5 * - 2 3 + /

• Postfixová a prefixová notácia sú pre človeka o niečo ťažšie čitateľné, než bežná infixová notácia (čo môže byť aj otázkou zvyku).
• Uvidíme však, že výrazy v postfixovej notácii sa dajú jednoducho vyhodnocovať.
• Výhodou postfixovej a prefixovej notácie oproti infixovej je aj to, že nepotrebujú zátvorky.

Notácie a vypisovanie stromu

• Ak aritmetický strom vypíšeme v preorder poradí, dostaneme prefixovú notáciu
• Ak aritmetický strom vypíšeme v postorder poradí, dostaneme postfixovú notáciu
• Ak aritmetický strom vypíšeme v inorder poradí, dostaneme niečo blízke infixovej notácii, ale treba pridať zátvorky

Pre preorder a postorder stačí prepísať funkciu printDataType, napr. takto:

/* Funkcia pre výpis hodnoty typu dataType = token */
void printDataType(dataType data) {
    if (data.op == ' ') {
        printf(" %g ", data.val); 
    } else {
        printf(" %c ", data.op); 
    }
}

Pre inorder napíšeme vlastnú funkciu, ktorá pridáva zátvorky a pre istotu ich dá všade

• Ako by sme ich vypísali iba tam, kde treba?
• Čo vypíše pre výraz z príkladov vyššie?

** Funkcia vypíše aritmetický výraz v inorder poradí */
void printInorder(treeNode * root) {
    if (root->data.op == ' ') {
        printf("%g", root->data.val);
    } else {
        printf("(");
        printInorder(root->left);
        printf(" %c ", root->data.op);
        printInorder(root->right);
        printf(")");
    }
}

Ďalšie funkcie na prácu so stromami

Vo zvyšku prednášky si ukážeme niekoľko ďalších funkcií na prácu s binárnymi stromami (nie nutne reprezentujúcimi aritmetické výrazy).

Likvidácia binárneho stromu

Nasledujúca rekurzívna funkcia zlikviduje celý podstrom zakorenený v uzle * root (t. j. uvoľní pamäť pre všetky jeho uzly).

• Opäť používa rekurziu na prejdenie celého stromu.
• Pozor na poradie príkazov, treba najskôr uvoľniť podstromy a až potom zavolať delete na root, inak by sme stratili prístup k deťom.
• Všimnite si, ako sú riešené triviálne prípady. Funkcia ani nezisťuje, s akým typom uzla pracuje.

/* Zlikviduje podstrom s korenom * root (uvolni pamat) */
void destroyTree(node * root) {
    if (root != NULL) {
        destroyTree(root->left);
        destroyTree(root->right);
        delete root;
    }
}

Výška binárneho stromu

• Hĺbkou uzla binárneho stromu nazveme jeho vzdialenosť od koreňa.
  • Koreň má teda hĺbku 0, jeho deti majú hĺbku 1, atď.
• Výškou binárneho stromu potom nazveme maximálnu hĺbku niektorého z jeho vrcholov.
  • Strom s jediným vrcholom má teda výšku 0; pre ostatné stromy je ich výška daná ako 1 plus maximum z výšok ľavého a pravého podstromu.

Nasledujúca funkcia počíta výšku stromu (kvôli elegancii zápisu pritom pracuje s rozšírením definície výšky stromu na prázdne stromy, za ktorých výšku sa považuje číslo -1).

/* Spočíta výšku podstromu s koreňom * root. 
 * Pre root == NULL vráti -1. */
int height(node * root) {
    if (root == NULL) {
        return -1;
    }
    // rekurzívne spočíta výšku ľavého a pravého podstromu
    int hLeft = height(root->left);    
    int hRight = height(root->right);  
    // vráti max(hLeft, hRight) + 1
    if (hLeft >= hRight) {             
        return hLeft + 1;
    } else {
        return hRight + 1;
    }
}

Cvičenie: prepíšte funkciu tak, aby triviálnym prípadom bol list, nie prázdny strom. Funkcia teda vždy dostane smerník na neprázdny strom a nebude volať rekurziu na prázdne podstromy. Ktorá verzia je jednoduchšia? Ktorá sa vám zdá jednoduchšia na pochopenie?

Aká môže byť výška binárneho stromu?

Pre výšku h binárneho stromu s n uzlami platia nasledujúce vzťahy:

• Určite h ≤ n-1. Tento prípad nastáva, ak sú všetky uzly „navešané jeden pod druhý”.
• Strom s výškou h má najviac

uzlov (ako možno ľahko dokázať indukciou vzhľadom na h).

• Z toho h ≥ log₂(n+1)-1.
• Dostávame teda log₂(n+1)-1 ≤ h ≤ n-1.
• Napríklad strom s milión vrcholmi má teda hĺbku medzi 19 a 999999.

Príklad: plné binárne stromy

Binárny strom výšky h s maximálnym počtom vrcholov 2^h+1-1 sa nazýva plný binárny strom. Nasledujúca funkcia createFullTree vytvorí takýto strom a vráti smerník na jeho koreň. Jeho uzly pritom očísľuje 1, 2, 3,... (predpokladáme, že dataType je int) pomocou globálnej premennej count.

// ...

int count;

/* Vytvori plny binarny strom vysky height s datami uzlov count, count + 1, ... */ 
node * createFullTree(int height) {    
    if (height == -1) {
        return NULL;
    }
    node * v = createNode(count, NULL, NULL);
    count++;
    v->left = createFullTree(height - 1);
    v->right = createFullTree(height - 1);
    return v;
}

int main() {
    count = 1;
    node * root = createFullTree(3);
                     
    printf("Vyska: %d\n", height(root));                 
    printf("Inorder: ");
    printInorder(root);
    printf("\n");
    printf("Preorder: ");
    printPreorder(root);
    printf("\n");
    printf("Postorder: ");
    printPostorder(root);
    printf("\n");
                     
    destroyTree(root);
}

Cvičenie:

• Nakreslite strom aj s hodnotami v uzloch, ktorý vznikne pre výšku 2.
• Vo všeobecnosti opíšte poradie, v ktorom sa v uvedenom programe jednotlivým uzlom priraďujú ich hodnoty.
• Ako by ste v programe odstránili globálnu premennú count?

Zhrnutie

Binárne stromy

• Definícia
• Výpis v preroder, inorder a postorder poradí

Aritmetické výrazy

• Bežná infixová notácia, napr. (65 – 3*5)/(2 + 3)
• Postfixová notácia 65 3 5 * - 2 3 + /
• Prefixová notácia / - 65 * 3 5 + 2 3
• Prefixová a postfixová notácia nepotrebujú zátvorky
• Aritmetický výraz ako strom
  • Vyhodnotenie