OHW

Nová sada

Príklady C-F odovzdajte najneskôr do piatka 27.5. 10:00, ak máte skúšku 27.5., alebo do štvrtka 16.6. 10:00, ak máte skúšku 17.6. Nepovinnú domácu úlohu môžete odovzdať písomne v M163 alebo emailom v pdf formáte a môžete za ňu dostať body za aktivitu. Všetky odpovede stručne zdôvodnite.

C (2 body)

Máme dané Bloom filtre pre množiny A a B, vytvorené s tou istou sadou hešovacích funkcií (a teda aj s tou istou veľkosťou tabuľky).

• Ako môžeme z týchto dvoch Bloom filtrov zostrojiť Bloom filter pre zjednotenie A a B? Bude taký istý, ako keby sme priamo vkladali prvky zjednotenia do bežného Bloom filtra?
• Ako môžeme z týchto dvoch Bloom filtrov zostrojiť Bloom filter pre prienik A a B? Bude taký istý, ako keby sme priamo vkladali prvky prieniku do bežného Bloom filtra?

D (3 body)

Máme reťazce X a Y rovnakej dĺžky n, ktorých Hammingova vzdialenosť je 1.

• Aká môže byť v najhoršom prípade Hammingova vzdialenosť reťazcov BWT(X$) a BWT(Y$)? Nájdite príklad, kde je táto vzdialenosť čo najväčšia (ako funkcia n). Naopak, snažte sa dokázať aj horný odhad.
• Pomôcka: abeceda môže byť veľká (môže mať aj veľkosť n)

E (? bodov, podľa náročnosti)

Máme reťazce X a Y rovnakej dĺžky n, ktorých Hammingova vzdialenosť je 1.

• Aká môže byť v najhoršom prípade editačná vzdialenosť reťazcov BWT(X$) a BWT(Y$)? Nájdite príklad, kde je táto vzdialenosť čo najväčšia (ako funkcia n). Naopak, snažte sa dokázať aj horný odhad.

F (2 body)

Bonus z DÚ: Segmentové stromy chceme rozšíriť tak, aby vedeli podporovať nasledovné operácie:

• RMQ(i,j) vráti pozíciu minima v a[i...j] v čase O(log^2 n),
• add(i,j,x) pripočíta hodnotu x (kladnú alebo zápornú) ku každému číslu v intervale a[i..j] v čase O(log^2 n),
• value(i) vráti hodnotu a[i] v čase O(log n).

Na to, aby operácia add fungovala v O(log^2 n) bez ohľadu na dĺžku intervalu, nebudeme hodnoty a[i] uschovávať priamo v poli. Namiesto toho budeme mať určitú hodnotu v každom vrchole segmentového stromu a a[i] bude súčtom hodnôt vo všetkých vrcholoch, ktorých intervaly obsahujú i. Pre jednoduchosť strom teraz rozšírime aj o intervaly dĺžky jedna. Vrcholy stromu taktiež budú obsahovať index minima pre operáciu RMQ. Tieto indexy treba pri operácii add vhodne upraviť. Napíšte a stručne zdôvodnite pseudokód pre všetky tri operácie v tejto reprezentácii. Využite kanonickú dekompozíciu z prednášky.

Poznámka: mierna úprava dátovej štruktúry môže znížiť čas každej operácie na O(log n), za takúto verziu môžete dostať 4 body.

Predchádzajúce kolo

A (2 body) do 26.4.

Uvažujme Morissov-Prattov algoritmus pre vzorku P dĺžky m, ktorý bežíme na veľmi dlhom texte T. Koľko najviac bude trvať spracovanie úseku dĺžky k niekde uprostred textu T ako funkcia parametrov m a k? Hodnota k môže byť menšia alebo väčšia ako m. Uveďte asymptotický horný aj dolný odhad, t.j. aj príklad, kde to bude trvať čo najdlhšie (príklad by mal fungovať pre všeobecné m a k, ale môžete si zvoliť T a P a aj ktorý úsek T dĺžky k uvažujete).

B1 (1 bod) do 26.4.

V nasledujúcej sérii podpríkladov sa vrátime k binárnemu reťazcu, o ktorom sme sa bavili, že má veľký lexikografický strom všetkých sufixov. Postupne to podrobnejšie ukážeme. Uvažujme reťazec tvaru $T_{k}=1010^{2}10^{3}10^{4}1\dots 10^{k}1$. Aká je dĺžka $T_{k}$? (presný vzorec). Ak označíme $n=|T_{k}|$, vyjadrite k ako funkciu n, asymptoticky, t.j. v $\Theta$ notácii.

B2 (2 body) do 26.4.

Ak vezmeme dva sufixy reťazca $T_{k}$ a začneme ich porovnávať od začiatku, ako dlho bude v najhoršom prípade trvať, kým nájdeme prvý rozdiel? Vyjadrite asymptoticky ako funkciu n, horný aj dolný odhad.

Poznámka: pýtame sa na časovú zložitosť cyklu x=0; while(Tk[i+x]==Tk[j+x]} { x++; } kde i a j sú začiatky sufixov.

B3 (1 bod) do 26.4.

Dokážte, s využitím prechádzajúcich podúloh, že veľkosť lexikografického stromu (trie) všetkých sufixov $T_{k}$ je $\Theta (n^{2})$.

B4 (? bodov) do 26.4.

Pokúste sa veľkosť lexikografického stromu reťazca $T_{k}$ určiť čo najpresnejšie ako funkciu k alebo n, t.j. zistiť niečo aj o konštante ukrytej v asymptotickej notácii, horné a dolné odhady, prípadne aj presný vzorec. Ak neviete riešiť analyticky, môžete aspoň spočítať pre nejaké konkrétne hodnoty k, napr. s využitím nejakej existujúcej implementácie lexikografických stromov. Počet bodov za túto úlohu záleží od náročnosti vášho riešenia.