Prednáška 18

Oznamy

• Blíži sa semestrálny test.
  • Bude sa konať v stredu v stredu 13.12. o 18:10.
  • Treba z neho získať aspoň 50% bodov, inak známka Fx.
  • Opravný termín bude v januári (iba jeden).
  • Viac podrobností zverejníme budúci týždeň.

Opakovanie: zásobník a rad

• Zásobník (angl. stack) a rad alebo front (angl. queue) sú abstraktné dátové typy, ktoré udržiavajú postupnosť nejakých prvkov.
• Obidva typy podporujú vloženie prvku a výber prvky
• Zo zásobníka sa vyberá prvok, ktorý v ňom pobudol najkratšie, z radu prvok, ktorý v ňom bol najdlhšie
• Zásobník tak pripomína stĺpec čistých tanierov v reštaurácii, rad pripomína rad pri pokladni

Konkrétne funkcie hlavičky funkcií

void init(stack &s);
bool isEmpty(stack &s);
void push(stack &s, dataType item); // vlozenie prvku
dataType pop(stack &s);    // vyber prvku
dataType peek(stack &s);
void destroy(stack &s);

void init(queue &q);
bool isEmpty(queue &q);
void enqueue(queue &q, dataType item); // vlozenie prvku
dataType dequeue(queue &q);  // vyber prvku
dataType peek(queue &q);
void destroy(queue &q);

• Pre obidva typy sme videli implementáciu v poli aj v spájanom zozname
• Hlavné funkcie vkladania a vyberania sú v obidvoch implementáciách rýchle a jednoduché

Videli sme tiež, že obidve štruktúry sa dajú použiť na ukladanie dát alebo úloh, ktoré ešte treba vyriešiť

• Dnes uvidíme ďalšie príklady

Použitie zásobníka a radu: nerekurzívny Quick Sort

Pripomeňme si triedenie Quick Sort z 11. prednášky:

void swap (int &x, int &y) {
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp;
}

int partition(int a[], int left, int right) {
    int pivot = a[left];     
    int lastSmaller = left;
    
    for (int unknown = left + 1; unknown <= right; unknown++) {
        if (a[unknown] < pivot) {
            lastSmaller++;
            swap(a[unknown], a[lastSmaller]);
        }
    }   
    swap(a[left],a[lastSmaller]); 
    return lastSmaller;
}

void quicksort(int a[], int left, int right) {
    if (left >= right) {
        return; 
    }
    
    int middle = partition(a, left, right);
        
    quicksort(a, left, middle-1);  
    quicksort(a, middle+1, right);   
}

int main() {
  // ...
  quicksort(a, 0, N-1);
  // ...
}

Namiesto rekurzie môžeme použiť aj zásobník úsekov, ktoré ešte treba dotriediť.

struct usek {
    int left;
    int right;
};

typedef usek dataType;

/* Sem pride definicia struktury stack a vsetkych potrebnych funkcii. */

/* Sem pridu funkcie swap a partition rovnake ako vyssie. */

void quicksort(int a[], int n) {
    stack s;
    init(s);
    
    usek u;
    u.left = 0;
    u.right = n-1;
    push(s,u);
    
    while (!isEmpty(s)) {
        u = pop(s);
        // vynechame useky dlzky 0 a 1
        if (u.left >= u.right) {
            continue;
        }
        
        int middle = partition(a, u.left, u.right);
        
        usek u1;
        u1.left = u.left;
        u1.right = middle - 1;
        usek u2;
        u2.left = middle + 1;
        u2.right = u.right;
        push(s,u2);
        push(s,u1);
    }
    
    destroy(s);
}

int main() {
  // ...
  quicksort(a, N);
  // ...
}

• Tento program triedi úseky v rovnakom poradí, ako rekurzívny Quick Sort, lebo po rozdelení poľa na dve časti dá na vrch zásobníka úsek zodpovedajúci jeho ľavej časti. Až keď sa táto ľavá časť a všetky podúlohy, ktoré z nej vzniknú, spracuje, dôjde na spracovanie pravej časti poľa.
• Pri triedení Quick Sort však na tomto poradí nezáleží, takže by sme mohli jednotlivé úseky vkladať na zásobník aj v opačnom poradí.
• Alebo by sme namiesto zásobníka mohli použiť rad. Potom by najskôr rozdelil ľavú aj pravú časť na ďalšie podčasti a potom by delil každú z týchto podčastí atď.

Na zamyslenie: ako by mohla vyzerať nerekurzívna verzia triedenia Merge Sort? Prečo sa nedá použiť rovnaký prístup ako pri triedení Quick Sort?

Vyfarbovanie súvislých oblastí

• Uvažujme obrázok, ktorý si rozdelíme na m krát n štvorčekov (pixelov).
• Farbu každého pixelu zapíšeme do jedného políčka dvojrozmerného poľa s m riadkami a n stĺpcami.
• V našom jednoduchom príklade budeme pracovať iba s piatimi farbami, ktoré budeme reprezentovať číslami 0,...,4 podľa nasledujúceho poľa (napríklad číslo 0 teda reprezentuje bielu farbu):

const char *farby[5] = {"white", "blue", "black", "yellow", "red"};

Napríklad obrázok

tak môže byť reprezentovaný nasledujúcim textovým súborom obsahujúcim najprv rozmery matice (čísla m a n) a za nimi samotné prvky matice:

11 17
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 2 2 0
 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0
 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 0
 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0
 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 1 1 1
 0 2 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 1
 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1
 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Zameriame sa teraz na nasledujúci problém: používateľ zvolí (zadá na konzolu) súradnice niektorého štvorčeka a cieľom je ofarbiť nejakou farbou (napríklad červenou) celú súvislú oblasť rovnakej farby obsahujúcu daný štvorček. Napríklad pre obrazec vyššie a vstupné súradnice (2,1) (teda štvorček v treťom riadku a druhom stĺpci, keďže matica sa bude indexovať od nuly) by mal byť výstupom nasledujúci obrazec:

Podobný problém je napríklad často potrebné riešiť v rôznych nástrojoch na prácu s grafikou a podobne.

• Jednoduché útvary, napr. obdĺžnik, by sa dali vyfarbiť jednoduchými cyklami, naša súvislá oblasť ale môže mať veľmi zložitý tvar, s mnohými zákrutami, vetveniami a dierami a podobne.
• Pre každé políčko, ktoré prefarbíme nesmieme zabudnúť skontrolovať všetkých jeho susedov a ak majú rovnakú farbu ako malo pôvodné políčko, tak prefarbiť aj ich, ich susedov, susedov ich susedov atď.
• Toto vieme ľahko zapísať rekurzívne: zafarbíme jedno políčko a potom rekurzívne zafarbujeme celú dosiahnuteľnú oblasť pre každého suseda rovnakej farby, akú malo pôvodne prefarbené políčko.
• Táto podúloha je menšia, lebo aspoň jedno políčko z nej ubudlo prvým prefarbením.

Vyfarbovanie pomocou rekurzívnej funkcie

Nasledujúca rekurzívna funkcia vyfarbi, ktorá vždy na cieľovú farbu farba prefarbí políčko so súradnicami (riadok, stlpec) a následne sa rekurzívne zavolá pre všetkých susedov tohto políčka, ktoré sú zafarbené pôvodnou farbou prefarbovanej oblasti.

/* Prefarbi súvislú jednofarebnú oblasť obsahujúcu 
 * pozíciu (riadok,stlpec) na farbu s číslom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n, 
             int riadok, int stlpec, int farba) {
    int staraFarba = a[riadok][stlpec];
    if (staraFarba == farba) {
        return;
    }
    a[riadok][stlpec] = farba;
    if (riadok - 1 >= 0 && a[riadok - 1][stlpec] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok - 1, stlpec, farba, drawing);
    }
    if (riadok + 1 < m && a[riadok + 1][stlpec] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok + 1, stlpec, farba, drawing);
    }
    if (stlpec - 1 >= 0 && a[riadok][stlpec - 1] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec - 1, farba, drawing);
    }
    if (stlpec + 1 < n && a[riadok][stlpec + 1] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec + 1, farba, drawing);
    }
}

Proces vyfarbovania môžeme animovať pomocou našej knižnice SVGdraw

• Výsledná animácia

Program s animáciou

• Program na vyfarbovanie súvislých oblastí obsahuje funkcie na inicializáciu matice, jej načítanie zo súboru, vykresľovanie jednotlivých štvorčekov a celej matice, ako aj uvoľnenie pamäte. Všetky tieto funkcie pracujú podobne ako pri príklade s výškovou mapou z prednášky 13.
• Funkcia main načíta maticu zo súboru vstup.txt a animáciu uloží do súboru matica.svg.
• Do rekurzívnej funkcie pridáme volanie funkcie vykresliStvorcek, ktoré aktuálny štvorček v obrázku prekreslí novou farbou. Za ňou zavoláme funkciu drawing.wait, ktorá animáciu pozdrží, aby sme zmeny stihli na obrázku sledovať.
• Okrem zmeny farby štvorčeka meníme aj farbu jeho rámčeka: pri zavolaní rekurzie sa zmení na hnedú a po skončení spracovania štvorčeka aj jeho susedov sa zmení na sivú. Hnedé sú teda vždy rámčeky štvorčekov uložené na zásobníku volaní.

#include "SVGdraw.h"
#include <cstdio>
#include <cassert>

const char *farby[5] = {"white", "blue", "black", "yellow", "red"}; 

const int stvorcek = 40;    // velkost stvorceka v pixeloch
const int hrubkaCiary = 2;  // hrubka ciary v pixeloch
const double pauza = 0.3;   // pauza po kazdom kroku vyfarbovania v sekundach

/* Vytvori maticu s n riadkami a m stlpcami. */
int **vytvorMaticu(int m, int n) {
    int **a;
    a = new int *[m];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        a[i] = new int[n];
    }
    return a;
}

/* Uvolni pamat matice a s n riadkami a m stlpcami. */
void zmazMaticu(int **a, int m) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        delete[] a[i];
    }
    delete[] a;
}

/* Vykresli stvorcek v riadku i a stlpci j 
   s farbou vyplne farba a farbou ciary farbaCiary. */
void vykresliStvorcek(int i, int j, 
                      const char * farba, 
                      const char * farbaCiary, 
                      SVGdraw &drawing) {
    drawing.setLineColor(farbaCiary);
    drawing.setLineWidth(hrubkaCiary);
    drawing.setFillColor(farba);
    drawing.drawRectangle(j * stvorcek, i * stvorcek, 
                          stvorcek, stvorcek);
}

/* Vykresli maticu a s n riadkami a m stlpcami. */
void vykresliMaticu(int **a, int m, int n, SVGdraw &drawing) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            vykresliStvorcek(i, j, farby[a[i][j]], "lightgray", drawing);
        }
    }
}

/* Nacita z textoveho suboru, na ktory ukazuje fr, 
   prvky matice a s n riadkami a m stlpcami. */
void nacitajMaticu(FILE *fr, int **a, int m, int n) {
    assert(fr != NULL);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            fscanf(fr, "%d", &a[i][j]);
        }
    }
}

/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu 
 * poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */
void vyfarbi(int **a, int m, int n, 
             int riadok, int stlpec, int farba,
             SVGdraw &drawing) {
    int staraFarba = a[riadok][stlpec];
    if (staraFarba == farba) {
        return;
    }
    a[riadok][stlpec] = farba;
    vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba], 
                     "brown", drawing);
    drawing.wait(pauza);
    if (riadok - 1 >= 0 && a[riadok - 1][stlpec] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok - 1, stlpec, farba, drawing);
    }
    if (riadok + 1 < m && a[riadok + 1][stlpec] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok + 1, stlpec, farba, drawing);
    }
    if (stlpec - 1 >= 0 && a[riadok][stlpec - 1] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec - 1, farba, drawing);
    }
    if (stlpec + 1 < n && a[riadok][stlpec + 1] == staraFarba) {
        vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec + 1, farba, drawing);
    }
    vykresliStvorcek(riadok, stlpec, farby[farba], 
                     "lightgray", drawing);
    drawing.wait(pauza);
} 

int main() {
    FILE *fr = fopen("vstup.txt", "r");
    assert(fr != NULL);

    // nacitanie rozmerov matice
    int m, n;
    fscanf(fr, "%d %d", &m, &n);  
    // vytvorenie matice a nacitanie jej prvkov  
    int **a = vytvorMaticu(m, n);
    nacitajMaticu(fr, a, m, n);         
    fclose(fr);
        
    SVGdraw drawing(n * stvorcek, m * stvorcek, "matica.svg");
    vykresliMaticu(a, m, n, drawing);

    // nacitanie suradnic pociatocneho stvorceka 
    int riadok, stlpec;
    scanf("%d", &riadok);
    scanf("%d", &stlpec);

    vyfarbi(a, m, n, riadok, stlpec, 4, drawing);

    drawing.finish();
    zmazMaticu(a, m);
}

Počítanie ostrovov

Obrazec, s ktorým sme pracovali vyššie, môže reprezentovať napríklad jednoduchú mapu súostrovia, kde more je znázornené modrou farbou a pevnina je znázornená žltou farbou. Úlohou môže byť zistiť počet ostrovov. Ten môžeme zistiť napríklad takto:

• Prechádzame postupne všetky políčka mapy.
• Ak narazíme na pevninu (t. j. žlté políčko), zvýšime doposiaľ nájdený počet ostrovov o 1 a ofarbíme celý ostrov (napríklad) na červeno.
• Ak narazíme na ďalšie žlté políčko, opäť urobíme to isté.
• Toto robíme, až kým prejdeme cez všetky políčka mapy.

Príklad mapy a jej zobrazenie pred začiatkom hľadania ostrovov, po nájdení prvých troch ostrovov a po nájdení všetkých ostrovov:

11 17
 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 3 3 3 3 1 1 3 1 1 1 1 3 3 1
 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1
 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 3 1 3 3 3 3 1
 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 1 1 3 3 3 3 1
 1 3 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 1
 1 1 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 3 3 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 1 3 1 1
 1 1 3 3 3 3 1 3 1 1 1 1 3 3 3 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

• 
• 
• 

Do programu vyššie teda dorobíme funkciu

int najdiOstrovy(int **a, int m, int n, SVGdraw &drawing) {
    int ostrovov = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (a[i][j] == 3) {
                ostrovov++;
                vyfarbi(a, m, n, i, j, 4, drawing);
            }
        }
    }
    return ostrovov;
}

a funkciu main môžeme zmeniť napríklad takto:

int main() {
    FILE *fr = fopen("ostrovy.txt", "r");
    assert(fr != NULL);
    int m, n;
    fscanf(fr, "%d %d", &m, &n);
    int **a = vytvorMaticu(m, n);
    nacitajMaticu(fr, a, m, n);
    fclose(fr);
        
    SVGdraw drawing(n * stvorcek, m * stvorcek, "mapa.svg");
    vykresliMaticu(a, m, n, drawing);

    int pocetOstrovov = najdiOstrovy(a, m, n, drawing);
    printf("Pocet ostrovov je %d.\n", pocetOstrovov);

    drawing.finish();
    zmazMaticu(a, m);
}

• Výsledná animácia

Cvičenie: upravte funkciu najdiOstrovy tak, aby ešte navyše zistila, či má niektorý z ostrovov jazero.

Vyfarbovanie s použitím zásobníka

S použitím niektorej implementácie zásobníka z minulej prednášky môžeme napísať aj nerekurzívnu verziu funkcie vyfarbi. Tá zakaždým vyberie zo zásobníka niektoré políčko. Ak ešte nebolo ofarbené, ofarbí ho a vloží na zásobník všetkých jeho susedov, ktorých je ešte potrebné ofarbiť.

Drobnou zmenou bude, že súradnice jednotlivých susedov budeme počítať s použitím cyklu for a polí deltaStlpec a deltaRiadok, ktoré pre i = 0,1,2,3 obsahujú posuny jednotlivých súradníc i-teho suseda oproti práve spracúvanému políčku.

struct policko {
    int riadok, stlpec;
};

typedef policko dataType;


/* Sem pride definicia struktury pre zasobnik 
 * a funkcii poskytovanych zasobnikom. */


const int deltaRiadok[4] = {0, 0, 1, -1};
const int deltaStlpec[4] = {1, -1, 0, 0};

/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu 
 * poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */  
void vyfarbi(int **a, int m, int n, int riadok, int stlpec, int farba,
             SVGdraw &drawing) {
    int staraFarba = a[riadok][stlpec];
    if (staraFarba == farba) {
        return;
    }
    
    stack s;
    init(s);
    
    policko p;
    p.riadok = riadok;
    p.stlpec = stlpec;
    push(s, p);
    
    while (!isEmpty(s)) {
        p = pop(s);
        if (a[p.riadok][p.stlpec] == farba) {
            // uz sme medzitym policko prefarbili z ineho smeru
            continue;
        }
        a[p.riadok][p.stlpec] = farba;
        vykresliStvorcek(p.riadok, p.stlpec, farby[farba], 
                         "lightgrey", drawing);
        drawing.wait(pauza);
        for (int i = 0; i <= 3; i++) {
            policko sused;
            sused.riadok = p.riadok + deltaRiadok[i];
            sused.stlpec = p.stlpec + deltaStlpec[i];
            if (sused.riadok >= 0 && sused.riadok < m
                && sused.stlpec >= 0 && sused.stlpec < n
                && a[sused.riadok][sused.stlpec] == staraFarba) {
                push(s, sused);    
            }        
        }
    }
    destroy(s);
}

• Výsledná animácia

Vyfarbovanie s použitím radu

Namiesto zásobníka môžeme použiť aj rad. Obrazec sa potom bude vyfarbovať v poradí podľa vzdialenosti od počiatočného políčka. Pôjde o takzvané prehľadávanie do šírky, kým rekurzívna verzia a verzia so zásobníkom zodpovedajú takzvanému prehľadávaniu do hĺbky.

struct policko {
    int riadok, stlpec;
};

typedef policko dataType;


/* Sem pride definicia struktury pre rad 
 * a funkcii poskytovanych radom. */


const int deltaRiadok[4] = {0, 0, 1, -1};
const int deltaStlpec[4] = {1, -1, 0, 0};

/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu
 * poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */  
void vyfarbi(int **a, int m, int n, int riadok, int stlpec, int farba, 
             SVGdraw &drawing) {
    int staraFarba = a[riadok][stlpec];
    if (staraFarba == farba) {
        return;
    }
    
    queue q;
    init(q);
    
    policko p;
    p.riadok = riadok;
    p.stlpec = stlpec;
    enqueue(q, p);
    
    while (!isEmpty(q)) {
        p = dequeue(q);
        if (a[p.riadok][p.stlpec] == farba) {
            continue;
        }
        a[p.riadok][p.stlpec] = farba;
        vykresliStvorcek(p.riadok, p.stlpec, farby[farba], 
                         "lightgrey", drawing);
        drawing.wait(pauza);
        for (int i = 0; i <= 3; i++) {
            policko sused;
            sused.riadok = p.riadok + deltaRiadok[i];
            sused.stlpec = p.stlpec + deltaStlpec[i];
            if (sused.riadok >= 0 && sused.riadok < m
                && sused.stlpec >= 0 && sused.stlpec < n
                && a[sused.riadok][sused.stlpec] == staraFarba) {
                enqueue(q, sused);    
            }        
        }
    }
    destroy(q);
}

• Výsledná animácia

Program potom môžeme upraviť aj tak, aby do každého ofarbeného políčka vypísal jeho vzdialenosť od počiatočného políčka:

struct policko {
    int riadok, stlpec, vzd;
};

typedef policko dataType;


/* Sem pride definicia struktury pre rad 
 * a funkcii poskytovanych radom. */


void vypisVzdialenost(int i, int j, int vzd, 
                      const char *farbaTextu, SVGdraw &drawing) {
    drawing.setLineColor(farbaTextu);
    drawing.setFontSize(20);
    char text[15];
    sprintf(text, "%d", vzd);
    drawing.drawText((j + 0.5) * stvorcek, (i + 0.5) * stvorcek, text);
}

const int deltaRiadok[4] = {0, 0, 1, -1};
const int deltaStlpec[4] = {1, -1, 0, 0};

/* Prefarbi suvislu jednofarebnu oblast obsahujucu 
 * poziciu (riadok,stlpec) na farbu s cislom farba. */  
void vyfarbi(int **a, int m, int n, int riadok, int stlpec, int farba, 
             SVGdraw &drawing) {
    int staraFarba = a[riadok][stlpec];
    if (staraFarba == farba) {
        return;
    }
    
    queue q;
    init(q);
    
    policko p;
    p.riadok = riadok;
    p.stlpec = stlpec;
    p.vzd = 0;
    enqueue(q, p);
    
    while (!isEmpty(q)) {
        p = dequeue(q);
        if (a[p.riadok][p.stlpec] == farba) {
            continue;
        }
        a[p.riadok][p.stlpec] = farba;
        vykresliStvorcek(p.riadok, p.stlpec, farby[farba], 
                         "lightgrey", drawing);
        vypisVzdialenost(p.riadok, p.stlpec, p.vzd, 
                         "white", drawing);
        drawing.wait(pauza);
        for (int i = 0; i <= 3; i++) {
            policko sused;
            sused.riadok = p.riadok + deltaRiadok[i];
            sused.stlpec = p.stlpec + deltaStlpec[i];
            if (sused.riadok >= 0 && sused.riadok < m
                && sused.stlpec >= 0 && sused.stlpec < n
                && a[sused.riadok][sused.stlpec] == staraFarba) {
                sused.vzd = p.vzd + 1;
                enqueue(q, sused);    
            }        
        }
    }
    destroy(q);
}

• Výsledná animácia

Zhrnutie

• Vyfarbovanie súvislých oblastí v matici sa dá využiť v počítačovej grafike ale na iné úlohy, napríklad počítanie ostrovov na mape.
• Dá sa jednoducho napísať rekurzívne.
• Rekurziu vieme odstrániť použitím zásobníka alebo radu na ukladanie políčok, ktoré ešte treba spracovať.
• Pri využití radu vieme spočítať aj vzdialenosť od počiatočného bodu
• Budúci semester uvidíte na Programovaní (2) prehľadávanie grafov, ktoré funguje veľmi podobne, ale je trochu všeobecnejšie.