Burrowsova–Wheelerova transformácia

FM index

• Ferragina and Manzini 2000 [1]
• hladanie vyskytov P v T pomocou BWT a ranku
• T dlzky n, pripojime $ na poziciu T[n]
• zostrojime sufixove pole SA pre T a <tex>L = BWT(T)</tex>
• spocitame si rank[a,i] v L, co je pocet vyskytov znaku a v L[0..i]
• spocitame <tex>C[a]=\sum_{b\in\Sigma,b<a}</tex> pocet vyskytov b v T (resp. v L)
• nech l(S) = najmensi index i t.z. S je prefix T[SA[i]..n]
• nech r(S) = najvacsi index ...
• pre S = epsilon, mame l(S)=0, r(S)=n
• ak aS je podslovo T, l(aS) = C[a]+rank[a,l(S)-1]
• ak aS je podslovo T, r(aS) = C[a]+rank[a,r(S)]-1
• navyse ak S je podslovo T, tak aS je podslovo T prave vtedy ak l(aS)<=r(aS)
• Opakujeme pre stale dlhsie sufixy P, nakoniec dostaneme interval SA, kde sa nachadzaju vyskyty - spatne hladanie

Priklad

hladam .ama
l(epsilon) = 0
r(epsilon) = 23
l(a) = C(a) + rank[a,L(epsilon)-1] = 6 + rank[a,-1] = 6
r(a) = C(a) + rank[a,R(epsilon)]-1 = 6 + rank[a,23]-1 = 11
l(ma) = C(m) + rank[m,L(a)-1] = 14 + rank[m,5] = 14  
r(ma) = C(m) + rank[m,R(a)]-1 = 14 + rank[m,11] - 1 = 19  
l(ama) = C(a) + ra(L(ma)-1) = 6 + ra(13) = 10
r(ama) = C(a) + ra(R(ma))-1 = 6 + ra(19) - 1 = 10
l(.ama) = C(.) + r.(L(ama)-1) = 1 + r.(9) =  1
r(.ama) = C(.) + r.(R(ama))-1 = 1 + r.(10)-1 =  0

Analyza

• zistovanie vyskytu, ratanie ich poctu potrebuje len polia rank a C
• na vypisanie pozicii potrebujeme aj SA
• pamat O(n sigma) cisel, hladanie v O(m)
• zlepsenie pamate pre rank:
  • jednoducha finta: ulozime si rank len pre niektore i, zvysne dopocitame na zaklade pocitania vyskytov v L (vydelime pamat k, vynasobime cas k)
  • na dalsich prednaskach si ukazeme wavelet tree: ako ulozit L + rank polia v n log sigma + o(n log sigma) bitoch, hladanie vyskytov sa spomali na O(m log sigma)
• ako kompaktnejsie ulozit SA
  • trochu ina reverzna transformacia:
  • predtym: najdi riadok j, v ktorom L[j] zodpoveda danemu F[i]
  • teraz: najdi riadok j, v ktorom F[j] zopoveda danemu L[i] (toto j oznacime LF[i])
  • LF[i] = C[L[i]]+ rank[L[i], i-1]
  • ak riadok i zodpoveda sufixu T[k..n], tak riadok LF[i] zodpoveda sufixu T[k-1..n]
  • T[n] = $, s = 0, i = n-1; while(i>=0) { T[i] = L[s]; s = LF[s]; i--; }
  • pomocou tejto transformacie mozeme ulozit SA len pre niektore riadky, pre ine sa pomocou LF transformacie dostaneme k najblizsiemu riadku pre ktory mame SA
  • ako presne ulozit "niektore riadky" ked su nerovnomerne rozmiestnene v SA (rovnomerne v T)?
• samotne L mozeme ulozit aj komprimovanie s vhodnymi indexami, vid. clanok od F a M alebo ho mame reprezentovane implicitne vo wavelet tree